Обратите внимание - эффект Джанибекова легко происходит с лопастной гайкой, но не происходит с гироскопом! Гироскоп нужно загнать в жуткую прецессию, чтобы он совершил что-то подобное и то с большой натяжкой.
Теперь о физике - каждое тело имеет минимум три оси свободного вращения, то есть как предмет ни закручивай, если он предоставлен сам себе, то он со временем начнет вращаться вокруг одной из них, это связано с законом сохранения импульса. При сложном движении предмет с четко выраженными тремя осями вращения начинает прецессию, которая со временем смещает равновесие оси вращения, но это неустойчивое состояние длится очень недолго, предмет кувыркается и потом снова относительно стабильно движется "задом наперед".
Форма Земли  близка к форме приплюснутого шара, поэтому ее вращение более похоже на движение гироскопа, а не на вращение лопастной гайки. Конечно, все может быть, но мне кажется, страхи насчет того, что Земля перевернется, как обычно, раздуваются искуственно.

Да, я ошибся - в прошлом сообщении не закон сохранения импульса, а закон сохранения момента импульса. Если кому интересно - можно найти в интернетах.
Кусок пластилина, показаный в фильме недаром имеет прилепленную металлическую балду. Почему ее не заменили просто меткой, нарисованной фломастером или ногтем? Чтобы попугать был бы самый тот эффект.
Дырка в гироскопе просто его сразу разбалтывает, эффекта Джанибекова там не наблюдается, гироскоп превращается просто в картошку, ось вращения которой не проходит через центр тяжести. Надо подождать и испорченный гироскоп начнет вращаться почти "как надо".
Насчет Луны - физики и астрономы как раз говорят, что она стабилизирует вращение Земли. Хотя конечно, физики и астрономы бывают разные, некоторые работают в РАН, а некоторые - в РАЕН. Одна буква часто играет большую роль.